Euklids Elemente

Geometrische Elemente von Euklidvon Jacobo Kresa (1689). Bild: gemeinfrei

 

100 Bücher, die die Welt verändert haben

 

Man sagt, dass Fußball das Ballett der Massen ist. In dem Sinne ist das berühmteste mathematische Werk der Geschichte, „Die Elemente“, geschrieben von dem legendären Euklid von Alexandria, die Oper, das Konzert und das Ballett der Wissenschaftler. Es ist das älteste, aber immer noch das abgeschlossenste Beispiel für die Anwendung der axiomatischen Methode zur Deduktion mathematischer Wahrheiten. Die dreizehn Bücher der Elemente enthalten eine enorme Anzahl von geometrischen Beweisen. Diese reichen von flächigen Konstruktionen mit Lineal und Zirkel bis hin zur Betrachtung dreidimensionaler Figuren, wie dem Würfel, der Kugel oder dem Dodekaeder. Leider lesen heute nicht einmal mehr Mathematiker einen großen Teil der Elemente. Seit der Einführung algebraischer Methoden in der Geometrie lassen sich viele Probleme durch symbolische Berechnungen schneller lösen. Dennoch ist die Überprüfung von Euklids Beweisen eine intellektuelle Chance, die sich kein Student der Natur- oder Ingenieurwissenschaften entgehen lassen sollte.

Ob Euklid tatsächlich existierte, ist seit Jahrhunderten umstritten, denn „Die Elemente“ könnten durchaus das Ergebnis der Bemühungen einer Gruppe griechischer Mathematiker sein, die gemeinsam an einem Werk arbeiteten. Wir besitzen sozusagen keine Erstausgabe, sondern nur kalligrafische Abschriften aus späteren Jahrhunderten. Das genaue Datum seiner Entstehung ist nicht bekannt, aber man geht allgemein davon aus, dass es im dritten Jahrhundert v. Chr. geschrieben wurde, also vor fast 2300 Jahren. Trotz der vielen Jahre, die dazwischen liegen, wird es noch immer gedruckt. In der Tat gehörte das Studium der euklidischen Geometrie viele Jahrhunderte lang zum akademischen Kanon der europäischen Universitäten. Isaac Newton selbst, der Erfinder der Differential- und Integralrechnung, zog es vor, sich nicht der aufkommenden algebraischen Methoden zu bedienen, sondern seine Gravitationstheorie mit den Darstellungsmethoden des Euklid zu präsentieren, um sich besser durchzusetzen.

Bild: gemeinfrei

„Die Elemente“ beginnen mit einer minimalen Liste von Definitionen, z. B. dass ein Punkt keine Teile hat oder dass eine Linie eine Länge ohne Dicke ist. Ein Kreis ist definiert als alle Punkte, die den gleichen Abstand zu einem festen Punkt, dem Mittelpunkt, haben. Nachdem die zu untersuchenden geometrischen Objekte definiert wurden (als wären sie Teile eines mathematischen Legos), müssen die Beziehungen zwischen diesen Komponenten und die mit dem Lineal und dem Zirkel zulässigen Operationen festgelegt werden. So formuliert Euklid fünf Axiome, die damals einfach als so selbstverständliche Wahrheiten angesehen wurden, dass sie keines Beweises bedurften. Das erste Axiom besagt zum Beispiel, dass zwei Punkte eine gerade Strecke bestimmen. Das zweite Axiom besagt, dass ein Segment wie eine Linie bis ins Unendliche verlängert werden kann. Das fünfte Axiom ist das so genannte Axiom der Parallelen, auf das ich weiter unten zurückkomme.

Angesichts der Axiome und der Regeln, die befolgt werden müssen, um geometrische Konstruktionen zu kombinieren, muss man Schritt für Schritt vorgehen. Die reine Logik dient dazu, neue Wahrheiten (die Theoreme) aus anderen, bereits akzeptierten Wahrheiten abzuleiten. In „Die Elemente“ lautet der erste Satz, der bewiesen werden muss, folgendermaßen: Bei einem beliebigen Segment kann ein Dreieck mit drei Seiten konstruiert werden, die diesem Segment entsprechen. Zur Veranschaulichung werden ein Diagramm, ein Lineal und ein Zirkel sowie Anmerkungen mit Buchstaben verwendet, die sich auf Punkte oder Linien im Diagramm beziehen. Die Argumentation ist rein verbal und bezieht sich auf bereits bewiesene Theoreme, die es in Verbindung mit den Axiomen ermöglichen, das neue Theorem zu überprüfen. Der zweite Satz besagt zum Beispiel nur, dass ein bestimmtes Segment in jeden anderen Teil der Ebene verschoben (kopiert) werden kann. Der dritte Satz zeigt, dass bei zwei unterschiedlich langen Segmenten das kleinere als Teil des längeren eingebettet werden kann. Und so geht es durch die 13 Bücher hindurch weiter, die in meiner englischen Ausgabe des Werkes etwa 400 Seiten umfassen.

Wenn man nicht gerade Mathematiker und Archäologe ist, weiß man nicht, ob die heute gedruckten Elemente nicht vereinfacht wurden, um das Werk leichter zugänglich zu machen. Das archaischste Fragment der Elemente, das erhalten geblieben ist, ist ein Papyrus, der zweihundert Jahre nach Euklid entstand. Das älteste vollständige Manuskript der Elemente befindet sich in der Bodleian Library der Universität Oxford und stammt aus dem Jahr 888 n. Chr., fast elf Jahrhunderte nach Euklid. Dieses Oxford-Exemplar enthält zwei weitere Bücher, die normalerweise nicht als Teil der Elemente betrachtet werden, da sie viel spätere Erweiterungen sind.

Aber selbst wenn einige Versionen zum Nutzen der modernen Leser erfunden wurden, ist es immer noch möglich, die Art und Weise zu schätzen, wie Mathematik zu Euklids Zeiten gemacht wurde. In den Elementen gibt es keine mathematische Notation an sich, sondern nur verbale Hinweise auf Symbole, die Punkte, Linien oder Kreise darstellen. Die gesamte Argumentation geschieht in Worten und statt „A=B“ zu schreiben, heißt es: „Element A ist gleich Element B“, mit allen Buchstaben. Das ist das, was man „rhetorische Mathematik“ genannt hat, die ohne die uns heute bekannten Symbole auskommt. Man muss sehr genau lesen, um sich nicht in der Verfolgung rein diskursiver Argumente zu verlieren.

Meine Lieblingsausgabe der Elemente ist diejenige, die 1847 von dem irischen Mathematiker Oliver Byrne veröffentlicht wurde, obwohl sie nur die ersten sechs Bücher umfasst. Byrne hatte eine brillante Idee. Da es in Euklids Diagrammen manchmal schwierig ist zu erkennen, welche Segmente gleich oder welche Winkel kongruent sind, hat Byrne alle Diagramme neu und mit Farben gezeichnet. Damit ist die Gleichheit von Segmenten, Winkeln oder geometrischen Komponenten offensichtlich und es ist viel einfacher, der mathematischen Demonstration zu folgen, da Byrne auch die modernen Symbole für Gleichheit, Addition usw. integriert. Es ist möglich, schneller durch die Lektüre voranzukommen, die darüber hinaus zu einem wahren Sinnes- und Geistesgenuss wird.

Euklids Elemente von Oliver Byrne (1847). Bild: gemeinfrei

 

Wenn ich mir die verschiedenen Abschnitte der Elemente ansehe, überrascht mich am meisten, wie viel man mit Lineal und Zirkel demonstrieren kann, manchmal schneller als mit algebraischen Methoden. Dass ein Kreis einen anderen Kreis in maximal zwei Punkten schneiden kann, wird bereits auf den ersten Seiten gezeigt. Ein nicht-trivialer Satz erscheint zu Beginn des dritten Buches: Bei zwei festen Punkten beschreibt der Scheitelpunkt eines konstanten Winkels einen Kreis, wenn jede seiner beiden Seiten immer in Kontakt mit einem der festen Punkte ist.

 

Die erste große Herausforderung für die euklidische Geometrie war die Entdeckung von Geometrien, in denen das Axiom der Parallelen („durch einen Punkt außerhalb einer Linie kann man eine und nur eine Linie ziehen, die die erste nicht schneidet“) nicht gilt. Wenn wir statt der Ebene die Oberfläche einer Kugel verwenden, um ihre Geometrie zu untersuchen, sind Euklids Axiome plötzlich nur noch gültig, wenn die Linien als „maximale“ Kreise (d.h. mit maximalem Umfang) aufgefasst werden. Nun schneiden sich aber alle Linien zwangsläufig, und es gibt keine Linien, die parallel zueinander verlaufen. Dies ist die so genannte „sphärische Geometrie“, die nach der so genannten „hyperbolischen Geometrie“ vorgeschlagen wurde, bei der für jeden Punkt außerhalb einer Linie eine unendliche Anzahl von parallelen Linien gezogen werden kann. Im 19. Jahrhundert veröffentlichten der Ungar János Bolyai und der Russe Nikola Lobachevsky ihre Ideen zur hyperbolischen Geometrie, nur um festzustellen, dass der große Carl Friedrich Gauß das bereits gemacht hat. In der Kosmologie wird heute darüber diskutiert, ob unser Universum in großem Maßstab eine euklidische, sphärische oder hyperbolische Geometrie aufweist. Bisher hat Euklid die Oberhand, und es heißt, dass sich das Universum ewig weiter ausdehnen wird und außerdem „flach“ (d. h. euklidisch) ist.

 

Um die Geometrie des Universums zu erforschen, wird die Europäische Weltraumorganisation (ESA) im Jahr 2023 den Satelliten „Euclid“ starten. Die Sonde, die von Guyana aus in die Erdumlaufbahn gebracht wird, ist mit Sensoren ausgestattet, mit denen sich die Spektren der entferntesten Galaxien viel genauer als vom Boden aus auswerten lassen. Anhand dieser Messungen lässt sich die Expansionsrate des Universums bestimmen, um festzustellen, ob es einem Universum mit euklidischer, sphärischer oder hyperbolischer Geometrie entspricht. Der Name der Sonde deutet darauf hin, dass die ESA eine Bestätigung der bisherigen Messungen erwartet, allerdings mit höherer Präzision.

 

Ab der Mitte des 19. Jahrhunderts begann die Ära der Strenge in der Mathematik. Alles, was stillschweigend „offensichtlich“ war und keinen Nachweis erforderte, musste auf andere Weise spezifiziert werden. Der deutsche Mathematiker David Hilbert deckte in seinem fabelhaften Buch „Grundlagen der Geometrie“ alle impliziten Annahmen auf, die in „Die Elemente“ verwendet wurden. Anstatt den Punkt, die Linie und andere geometrische Objekte zu definieren, erklärt Hilbert sie zu „unbestimmten Begriffen“, deren Bedeutung sich aus ihren gegenseitigen Beziehungen ergibt. Hilbert zeigt, dass man, indem man nach und nach ein Axiom nach dem anderen hinzufügt, sukzessive verschiedene Geometrien abdecken kann, von Geometrien mit einer endlichen Anzahl von Punkten bis hin zu kontinuierlichen Geometrien, jedoch mit ungewöhnlichen Eigenschaften. Für jeden, der sich jemals die Mühe gemacht hat, Euklid zu lesen, ist Hilberts Buch eine Offenbarung.

In gewisser Weise wollte Hilbert das Programm von Euklid erweitern und vervollständigen. Für Hilbert sollte die Mathematik „vollständig“ und frei von Widersprüchen sein, wie er es mit seinen „Fundamentals“ im Falle der Geometrie zu erreichen versuchte. Es wäre fatal, ein riesiges theoretisches Gebäude zu errichten, nur um dann festzustellen, dass sich die Theoreme widersprechen. Außerdem sollte jede mathematische Wahrheit einen Beweis haben. Heute wissen wir, dass die Dinge viel komplizierter sind, was wir Kurt Gödel und dem berühmten Satz, der seinen Namen trägt, zu verdanken haben. Aber David Hilbert war sich so sicher, dass die Mathematik vollständig und frei von Widersprüchen ist, dass er einmal behauptete: „Wir müssen wissen, wir werden wissen.“ Dieser überzeugte Satz ziert den Grabstein seines Grabes in Göttingen.

Die Elemente schließen mit der Untersuchung der so genannten platonischen Körper, d. h. der Polyeder, die identische polygonale Flächen haben, ob dreieckig, quadratisch oder fünfeckig. Historisch gesehen ist das Werk der Ausgangspunkt der auf Demonstrationen basieren Mathematik, die punktuell durch die axiomatische Methode geregelt werden. Euklids Abhandlung stellt somit den Beginn dieser Disziplin dar: Vor Euklid hatten wir vormathematisches Wissen, nach den „Elementen“ beginnt die Ära der mathematischen Wahrheit.

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13 Kommentare

  1. Danke Herr Rojas, Gauß schon ziemlich geil, Euklid sowieso. Geometrie immer geliebt. Die kann ich, nagut, so Semie.
    Ich, ein Hauptschüler (1978), Artikel 3x gelesen, danke dafür in diesen Zeiten!

      1. herumotzen eh nicht so meins
        Status 2022 :
        1982: Lehre AGWeser Kupferschmied /Werft geschlossen
        1984 : mittlere Reife nachgeholt
        2001: Umschulung Technischer Assistent Informatik
        2010 : Höhergruppierung abgeschlossen, Stand eines Laboringeneurs
        Es geht, wenn man/fru will
        Schöne Beiträge lese ich gerne öfter, zu schnell überlese ich etwas, bin Vielleser, Bücher sind so Klasse.

  2. Geometrie war immer eines meiner Lieblingsfächer, deutlich mehr als Algebra. Erst als es mit nichteuklidischer Geometrie losging, taten sich Fragezeichen auf.

  3. @Raul Rojas: Ganz recht, ein Punkt ist nulldmensional, eine Linie eindimensional, eine Fläche zweidimensional und ein Körper dreidimensional. Daraus ergibt sich aber auch, dass selbst eine unzählige Anzahl von Punkten keine Linie ergeben kann, also auch keinen Kreis. Bestenfalls einen „gedachten“ und damit auf ewig unsichtbaren Kreis.

  4. Schade das ich das Buch jetzt erst kennenlerne. Es hätte sowohl mir als auch meinen Kindern in der Schule sehr geholfen.

    Ich habe mal reingeguckt, das Buch ist wirklich der Oberhammer. Die Sprache wirkt etwas altertümlich (älteres Englisch mit Ligatur-S), aber ansonsten gut lesbar. Jeder Satz ist ein Hammerschlag, jeder Satz ein Treffer. Keine Schnörkel, sondern jeder Satz ist effizient.

    1. Höhergruppierung, mein Lieblingsprofessor, verhasst bei den Studenten, ich sollte Semester Mathe Vorlesungen mit durchziehen, Fachbereich Elektrotechnik, nach 2 4 Std Blöcken habe ich Ihm gesagt, ich kann das nicht, Er hat da Formeln aufs Whiteboard gemalt, da haben sich mir die Fussnägel gekräuselt, Er musste Bewertung schreiben, für mich, feinstes Latex, sieht aus wie 3 Seiten Urkunde, Er nun Ruhestand, Wir treffen uns so 1/4 jährlich , Revolution, und solche Dinge besprechen.
      edit typo

      1. Bin selber kein Mathegenie, aber die Klarheit der Mathematik hat mir schon als Schüler Freude gemacht. Wir haben damals noch Wurzelziehen (ohne Taschenrechner!) gelernt, wer kann das heute noch?
        Inzwischen habe ich das meiste vergessen, aber es war ein prima Training.

  5. Was ich spannend finde, das keine Frauen in diese Sachen involviert sind, vermute Sie hätten uns einige Dinge früher, klüger und gewiefter erklären können. Wenn man(n) Sie gelassen hätte.

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